Algèbre linéaire Exemples

[\begin{array}{c} - 63 & 30 & 24 \\ 33 & - 15 & - 9 \\ - 45 & 30 & 15 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 63 & 30 & 24 \\ 33 & - 15 & - 9 \\ - 45 & 30 & 15 \end{array}]$

Étape 1

Consider the corresponding sign chart.

[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Étape 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Calculate the minor for element

a_{11}

$a_{11}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

| \begin{array}{c} - 15 & - 9 \\ 30 & 15 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 15 & - 9 \\ 30 & 15 \end{array} |$

Étape 2.1.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = - 15 \cdot 15 - 30 \cdot - 9

$a_{11} = - 15 \cdot 15 - 30 \cdot - 9$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.1

Multipliez

- 15

$- 15$ par

15

$15$ .

a_{11} = - 225 - 30 \cdot - 9

$a_{11} = - 225 - 30 \cdot - 9$

Étape 2.1.2.2.1.2

Multipliez

- 30

$- 30$ par

- 9

$- 9$ .

a_{11} = - 225 + 270

$a_{11} = - 225 + 270$

a_{11} = - 225 + 270

$a_{11} = - 225 + 270$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez

- 225

$- 225$ et

270

$270$ .

a_{11} = 45

$a_{11} = 45$

a_{11} = 45

$a_{11} = 45$

a_{11} = 45

$a_{11} = 45$

a_{11} = 45

$a_{11} = 45$

Étape 2.2

Calculate the minor for element

a_{12}

$a_{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

| \begin{array}{c} 33 & - 9 \\ - 45 & 15 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 33 & - 9 \\ - 45 & 15 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{12} = 33 \cdot 15 - (- 45 \cdot - 9)

$a_{12} = 33 \cdot 15 - (- 45 \cdot - 9)$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Multipliez

33

$33$ par

15

$15$ .

a_{12} = 495 - (- 45 \cdot - 9)

$a_{12} = 495 - (- 45 \cdot - 9)$

Étape 2.2.2.2.1.2

Multipliez

- (- 45 \cdot - 9)

$- (- 45 \cdot - 9)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.2.1

Multipliez

- 45

$- 45$ par

- 9

$- 9$ .

a_{12} = 495 - 1 \cdot 405

$a_{12} = 495 - 1 \cdot 405$

Étape 2.2.2.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

405

$405$ .

a_{12} = 495 - 405

$a_{12} = 495 - 405$

a_{12} = 495 - 405

$a_{12} = 495 - 405$

a_{12} = 495 - 405

$a_{12} = 495 - 405$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez

405

$405$ de

495

$495$ .

a_{12} = 90

$a_{12} = 90$

a_{12} = 90

$a_{12} = 90$

a_{12} = 90

$a_{12} = 90$

a_{12} = 90

$a_{12} = 90$

Étape 2.3

Calculate the minor for element

a_{13}

$a_{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

| \begin{array}{c} 33 & - 15 \\ - 45 & 30 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 33 & - 15 \\ - 45 & 30 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{13} = 33 \cdot 30 - (- 45 \cdot - 15)

$a_{13} = 33 \cdot 30 - (- 45 \cdot - 15)$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.1

Multipliez

33

$33$ par

30

$30$ .

a_{13} = 990 - (- 45 \cdot - 15)

$a_{13} = 990 - (- 45 \cdot - 15)$

Étape 2.3.2.2.1.2

Multipliez

- (- 45 \cdot - 15)

$- (- 45 \cdot - 15)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.2.1

Multipliez

- 45

$- 45$ par

- 15

$- 15$ .

a_{13} = 990 - 1 \cdot 675

$a_{13} = 990 - 1 \cdot 675$

Étape 2.3.2.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

675

$675$ .

a_{13} = 990 - 675

$a_{13} = 990 - 675$

a_{13} = 990 - 675

$a_{13} = 990 - 675$

a_{13} = 990 - 675

$a_{13} = 990 - 675$

Étape 2.3.2.2.2

Soustrayez

675

$675$ de

990

$990$ .

a_{13} = 315

$a_{13} = 315$

a_{13} = 315

$a_{13} = 315$

a_{13} = 315

$a_{13} = 315$

a_{13} = 315

$a_{13} = 315$

Étape 2.4

Calculate the minor for element

a_{21}

$a_{21}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

The minor for

a_{21}

$a_{21}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

1

$1$ deleted.

| \begin{array}{c} 30 & 24 \\ 30 & 15 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 30 & 24 \\ 30 & 15 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{21} = 30 \cdot 15 - 30 \cdot 24

$a_{21} = 30 \cdot 15 - 30 \cdot 24$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez

30

$30$ par

15

$15$ .

a_{21} = 450 - 30 \cdot 24

$a_{21} = 450 - 30 \cdot 24$

Étape 2.4.2.2.1.2

Multipliez

- 30

$- 30$ par

24

$24$ .

a_{21} = 450 - 720

$a_{21} = 450 - 720$

a_{21} = 450 - 720

$a_{21} = 450 - 720$

Étape 2.4.2.2.2

Soustrayez

720

$720$ de

450

$450$ .

a_{21} = - 270

$a_{21} = - 270$

a_{21} = - 270

$a_{21} = - 270$

a_{21} = - 270

$a_{21} = - 270$

a_{21} = - 270

$a_{21} = - 270$

Étape 2.5

Calculate the minor for element

a_{22}

$a_{22}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

The minor for

a_{22}

$a_{22}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

2

$2$ deleted.

| \begin{array}{c} - 63 & 24 \\ - 45 & 15 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 63 & 24 \\ - 45 & 15 \end{array} |$

Étape 2.5.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{22} = - 63 \cdot 15 - (- 45 \cdot 24)

$a_{22} = - 63 \cdot 15 - (- 45 \cdot 24)$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1.1

Multipliez

- 63

$- 63$ par

15

$15$ .

a_{22} = - 945 - (- 45 \cdot 24)

$a_{22} = - 945 - (- 45 \cdot 24)$

Étape 2.5.2.2.1.2

Multipliez

- (- 45 \cdot 24)

$- (- 45 \cdot 24)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1.2.1

Multipliez

- 45

$- 45$ par

24

$24$ .

a_{22} = - 945 - - 1080

$a_{22} = - 945 - - 1080$

Étape 2.5.2.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1080

$- 1080$ .

a_{22} = - 945 + 1080

$a_{22} = - 945 + 1080$

a_{22} = - 945 + 1080

$a_{22} = - 945 + 1080$

a_{22} = - 945 + 1080

$a_{22} = - 945 + 1080$

Étape 2.5.2.2.2

Additionnez

- 945

$- 945$ et

1080

$1080$ .

a_{22} = 135

$a_{22} = 135$

a_{22} = 135

$a_{22} = 135$

a_{22} = 135

$a_{22} = 135$

a_{22} = 135

$a_{22} = 135$

Étape 2.6

Calculate the minor for element

a_{23}

$a_{23}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

The minor for

a_{23}

$a_{23}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

3

$3$ deleted.

| \begin{array}{c} - 63 & 30 \\ - 45 & 30 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 63 & 30 \\ - 45 & 30 \end{array} |$

Étape 2.6.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{23} = - 63 \cdot 30 - (- 45 \cdot 30)

$a_{23} = - 63 \cdot 30 - (- 45 \cdot 30)$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.1

Multipliez

- 63

$- 63$ par

30

$30$ .

a_{23} = - 1890 - (- 45 \cdot 30)

$a_{23} = - 1890 - (- 45 \cdot 30)$

Étape 2.6.2.2.1.2

Multipliez

- (- 45 \cdot 30)

$- (- 45 \cdot 30)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.2.1

Multipliez

- 45

$- 45$ par

30

$30$ .

a_{23} = - 1890 - - 1350

$a_{23} = - 1890 - - 1350$

Étape 2.6.2.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1350

$- 1350$ .

a_{23} = - 1890 + 1350

$a_{23} = - 1890 + 1350$

a_{23} = - 1890 + 1350

$a_{23} = - 1890 + 1350$

a_{23} = - 1890 + 1350

$a_{23} = - 1890 + 1350$

Étape 2.6.2.2.2

Additionnez

- 1890

$- 1890$ et

1350

$1350$ .

a_{23} = - 540

$a_{23} = - 540$

a_{23} = - 540

$a_{23} = - 540$

a_{23} = - 540

$a_{23} = - 540$

a_{23} = - 540

$a_{23} = - 540$

Étape 2.7

Calculate the minor for element

a_{31}

$a_{31}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

The minor for

a_{31}

$a_{31}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

1

$1$ deleted.

| \begin{array}{c} 30 & 24 \\ - 15 & - 9 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 30 & 24 \\ - 15 & - 9 \end{array} |$

Étape 2.7.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{31} = 30 \cdot - 9 - (- 15 \cdot 24)

$a_{31} = 30 \cdot - 9 - (- 15 \cdot 24)$

Étape 2.7.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1.1

Multipliez

30

$30$ par

- 9

$- 9$ .

a_{31} = - 270 - (- 15 \cdot 24)

$a_{31} = - 270 - (- 15 \cdot 24)$

Étape 2.7.2.2.1.2

Multipliez

- (- 15 \cdot 24)

$- (- 15 \cdot 24)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1.2.1

Multipliez

- 15

$- 15$ par

24

$24$ .

a_{31} = - 270 - - 360

$a_{31} = - 270 - - 360$

Étape 2.7.2.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 360

$- 360$ .

a_{31} = - 270 + 360

$a_{31} = - 270 + 360$

a_{31} = - 270 + 360

$a_{31} = - 270 + 360$

a_{31} = - 270 + 360

$a_{31} = - 270 + 360$

Étape 2.7.2.2.2

Additionnez

- 270

$- 270$ et

360

$360$ .

a_{31} = 90

$a_{31} = 90$

a_{31} = 90

$a_{31} = 90$

a_{31} = 90

$a_{31} = 90$

a_{31} = 90

$a_{31} = 90$

Étape 2.8

Calculate the minor for element

a_{32}

$a_{32}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

The minor for

a_{32}

$a_{32}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

2

$2$ deleted.

| \begin{array}{c} - 63 & 24 \\ 33 & - 9 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 63 & 24 \\ 33 & - 9 \end{array} |$

Étape 2.8.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{32} = - 63 \cdot - 9 - 33 \cdot 24

$a_{32} = - 63 \cdot - 9 - 33 \cdot 24$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1.1

Multipliez

- 63

$- 63$ par

- 9

$- 9$ .

a_{32} = 567 - 33 \cdot 24

$a_{32} = 567 - 33 \cdot 24$

Étape 2.8.2.2.1.2

Multipliez

- 33

$- 33$ par

24

$24$ .

a_{32} = 567 - 792

$a_{32} = 567 - 792$

a_{32} = 567 - 792

$a_{32} = 567 - 792$

Étape 2.8.2.2.2

Soustrayez

792

$792$ de

567

$567$ .

a_{32} = - 225

$a_{32} = - 225$

a_{32} = - 225

$a_{32} = - 225$

a_{32} = - 225

$a_{32} = - 225$

a_{32} = - 225

$a_{32} = - 225$

Étape 2.9

Calculate the minor for element

a_{33}

$a_{33}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

The minor for

a_{33}

$a_{33}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

3

$3$ deleted.

| \begin{array}{c} - 63 & 30 \\ 33 & - 15 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 63 & 30 \\ 33 & - 15 \end{array} |$

Étape 2.9.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{33} = - 63 \cdot - 15 - 33 \cdot 30

$a_{33} = - 63 \cdot - 15 - 33 \cdot 30$

Étape 2.9.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1.1

Multipliez

- 63

$- 63$ par

- 15

$- 15$ .

a_{33} = 945 - 33 \cdot 30

$a_{33} = 945 - 33 \cdot 30$

Étape 2.9.2.2.1.2

Multipliez

- 33

$- 33$ par

30

$30$ .

a_{33} = 945 - 990

$a_{33} = 945 - 990$

a_{33} = 945 - 990

$a_{33} = 945 - 990$

Étape 2.9.2.2.2

Soustrayez

990

$990$ de

945

$945$ .

a_{33} = - 45

$a_{33} = - 45$

a_{33} = - 45

$a_{33} = - 45$

a_{33} = - 45

$a_{33} = - 45$

a_{33} = - 45

$a_{33} = - 45$

Étape 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

-

$-$ positions on the sign chart.

[\begin{array}{c} 45 & - 90 & 315 \\ 270 & 135 & 540 \\ 90 & 225 & - 45 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 45 & - 90 & 315 \\ 270 & 135 & 540 \\ 90 & 225 & - 45 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 45 & - 90 & 315 \\ 270 & 135 & 540 \\ 90 & 225 & - 45 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 45 & - 90 & 315 \\ 270 & 135 & 540 \\ 90 & 225 & - 45 \end{array}]$

Étape 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

[\begin{array}{c} 45 & 270 & 90 \\ - 90 & 135 & 225 \\ 315 & 540 & - 45 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 45 & 270 & 90 \\ - 90 & 135 & 225 \\ 315 & 540 & - 45 \end{array}]$